CATEGORÍAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Poblete, Alvaro; Díaz V.

Universidad de Los Lagos – Chile

Se pueden encontrar diversas interpretaciones del concepto resolución de problemas tanto dentro de las matemáticas como en otras disciplinas, lo que ha originado diversos enfoque generales sobre la resolución de problemas, considerándola como actividad u objetivo. No obstante, en la enseñanza de la matemática, la palabra “problema” tiene una variedad de significados, pasando de un ejercicio escrito a una situación real, que exige una formulación matemática. Se hace necesario entonces precisar el concepto problema en matemáticas, el cual corresponde a una situación en donde el estudiante intenta responder a una pregunta hecha o realiza una tarea determinada, a la vista de su experiencia y con informaciones que le son proporcionadas en algunos casos explícitamente; le es realmente necesario buscar un medio para responder a la pregunta; debe recurrir a la matemática o a las habilidades intelectuales frecuentemente utilizadas para lograrlo.

Así, resolver o solucionar un problema, o aún encontrar una solución al problema, es avanzar hasta que se haya encontrado una respuesta correcta a la pregunta hecha o cumplido la tarea pedida. Un problema en matemáticas supone una referencia a cierta situación, es decir, a un contexto en donde se trata de algunos objetos asi como de relaciones y operaciones, haciendo intervenir estos objetos. La situación evocada puede ser de naturaleza material, abstracta o de las dos a la vez.

La situación presentada al estudiante le debe conducir a hacerse una cierta idea o representación mental. Por su naturaleza, un problema exige una búsqueda real de parte del alumno. Frente a una situación que representa para él un problema en matemáticas, el estudiante se siente en desequilibrio desde el punto de vista cognitivo, ya que para llegar a la respuesta debe necesariamente, reflexionar y buscar recurriendo a diversos procesos mentales mucho más complejos que la simple memorización. Por lo tanto, la actividad de la resolución de problemas precisa de un alto nivel de actividad mental analítica-sintética.

Finalmente, al tratar un problema de matemáticas, el estudiante debe recurrir para su resolución a los saberes como conceptos, propiedades, métodos, algoritmos o a los saber-hacer como las habilidades de razonamiento lógico.

Un ejercicio en matemáticas en cambio, es una situación donde el estudiante le viene rápidamente a la mente un medio de responder a la pregunta formulada, es decir, encuentra en forma espontánea la solución, porque resulta ser la práctica de una rutina en la cual ya ha sido iniciado. No obstante, los problemas o situaciones no problemáticas, conservan su importancia en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas jugando roles complementarios, pero claramente diferentes.

En este sentido, es la resolución de problemas la que debe construir uno de los objetivos claves del sistema escolar, habituando a los estudiantes a enfrentarse con tareas no previstas y a encontrar algún tipo de respuesta adecuada. También debe constituir un objetivo para la enseñanza de la matemática, ya que gran parte de su justificación la reciben de su aplicación y utilidad de la vida cotidiana. Estas consideraciones al significado de problema, se amplia con una distinción entre aquellos considerados como rutinarios y no rutinarios, aproximándonos a una categorización de problemas.

El desarrollo de la habilidad para resolver problemas no rutinarios es importante en todos los niveles del proceso de educación formal y una característica de ellos es que el estudiante no ha intentado previamente el problema o uno similar a este. Para resolverlos no basta con aplicar una regla o un método de manera rutinaria, a fuerza de búsqueda y de intuición hay que llegar a elaborar una solución recurriendo al conjunto de conocimientos y experiencias anteriores.

Generalmente la resolución de un problema no rutinario demanda mucho tiempo y exige una inversión importante de energía y de efectividad, voluntad de resolución y perseverancia en la búsqueda. Tratar de refinar la distinción entre un problema rutinario y un problema no rutinario, significa considerar estos últimos como aquellos problemas en donde hay que elegir una combinación de reglas, debiendo indagar bastante. Los problemas de rutina, en cambio, son similares a los que se han desarrollado durante el curso de instrucción, en donde el estudiante efectúa una serie de secuencias que involucra una comprensión de conceptos y algoritmos para llegar a soluciones válidas. Buscar otras soluciones corresponde a otro tipo de conducta que de hecho deberán ser planteadas a otros niveles.

Es importante la inclusión de variados tipos de problemas en matemáticas. En relación a esto, se han establecido clasificaciones en el desarrollo del currículo escolar: según procedimiento, según el número de soluciones y según la adecuación de los datos proporcionados.

Según el número de soluciones, se clasifican los problemas en aquellos: que tienen una solución, que tienen un número finito de soluciones, que tienen un número infinito de soluciones y en problemas que no tienen solución. También se clasifican los problemas según la adecuación de los datos en: problemas cuyos datos son completos, problemas que incluyen datos superfluos, problemas con datos ausentes y problemas que contienen datos insuficientes.

Se han indicado diferentes clasificaciones que se pueden considerar dentro de un currículo escolar. Si se quiere completar la educación matemática del estudiante, parece evidente verse enfrentados con todas estas clases de problemas, ya que cada uno de ellos estimula o favorece distintos factores. La utilización de los diversos tipos de problemas proporciona diferentes conocimientos, estrategias y habilidades, las que a su vez, se complementan entre sí en la formación del estudiante.

Aun cuando existen variadas clasificaciones, creemos que hay un componente fundamental en la estructura de un problema como es su “contexto”, esto es el ámbito de aplicación o de conocimiento al cual el problema hace referencia.

Considerando las distintas clasificaciones de problemas que hemos presentado anteriormente, optamos por una que constituye, a nuestro juicio, la base conceptual de nuestra investigación. La clasificación propuesta considera la naturaleza y el contexto del problema que hace referencia y sobre ésta efectuaremos una categorización.

CATEGORIZACIÓN

Categorizaremos los problemas en rutinarios y no rutinarios según su naturaleza, y en real, realista, fantasista y puramente matemático según su contexto.

Los problemas considerados en esta categorización, corresponden a problemas de cálculo diferencial sobre derivación y su aplicación en las áreas de la economía, las ciencias sociales, la física y el área específica de la matemática.

 NATURALEZA DE LOS PROBLEMAS

     ·.- PROBLEMAS NO RUTINARIOS: En el sentido en que un estudiante no conoce una respuesta ni un procedimiento previamente establecido (rutina) para encontrarla.

Ejemplo:

Establezca un problema de máximo donde se pueda usar la ecuación de segundo grado.

     ·.- PROBLEMAS RUTINARIOS: El estudiante conoce una rutina previamente establecida para su resolución.

 CONTEXTOS DE LOS PROBLEMAS

     ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO REAL: Un contexto es real si se produce efectivamente en la realidad y compromete el accionar del estudiante en la misma.

Ejemplo: 

En una hoja de cuaderno mida sus lados y construya una caja sin tapa cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determine el lado de los cuadrados que deben ser cortados, a fin de que el volumen sea el mayor posible.

    ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO REALISTA: Un contexto es realista si es susceptible de producirse realmente. Se trata de una simulación dela realidad o de una parte de la realidad.

Ejemplo:

Una escalera de 10 m de largo está apoyada contra un edificio vertical, La base de la escalera resbala alejándose del edificio en razón de 3 m/s. ¿A qué velocidad resbala hacia abajo el extremo superior de la escalera cuando se encuentran 8 m arriba del suelo?

      ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO FANTASISTA: Un contexto es fantasista si es fruto de la imaginación y está sin fundamento en la realidad.

Ejemplo:

Un gigante midió 1 m al nacer, en la actualidad con 5 años de vida mide 10 m. Aplicar el teorema del valor intermedio para explicar que en algún momento de su vida, la estatura de este gigante fue exactamente de 5 m.

     ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO PURAMENTE MATEMÁTICO: Un contexto es puramente matemático si hace referencia exclusivamente a objetos matemáticos: números, relaciones y operaciones aritméticas, figuras geométricas, etc.

Ejemplo:

Halla la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio R.

En general, la resolución de problemas de contexto real, realista o “fantasista, necesita la matematización de la situación dada, es decir, su traducción en lenguaje matemático, ya que se trata de un problema; si el proceso de matematización en cuestión debe elegir una cierta búsqueda de parte automática y sin esfuerzo, entonces no se trata de un problema de contexto, sino más bien de un ejercicio de matematización”.