APRENDER MATEMÁTICA RESOLVIENDO PROBLEMAS

La resolución de problemas es una actividad importante en el aprendizaje de las matemáticas. En el proceso de aprender matemáticas, se pone atención especial al tipo de problemas o situaciones problemáticas que aparecen en la instrucción matemática. Se sugiere que la interacción del estudiante con problemas no rutinarios y la discusión de las estrategias importantes de resolución, contribuyen a que desarrollen una disposición hacia el estudio de las matemáticas. Además, un aspecto notable se relaciona con las actividades en donde el estudiante intencionalmente busca los significados de las ideas matemáticas y discute el sentido de las soluciones de los problemas. De hecho, esta propuesta ha motivado a educadores matemáticos a investigar y categorizar el proceso a través del cual un individuo resuelve problemas matemáticos. Así, el observar sistemáticamente el comportamiento de los expertos al resolver problemas y contrastar estas observaciones con el trabajo de los estudiantes ha sido de gran utilidad para identificar y explicar diferencias importantes entre ellos.

El presente trabajo tiene como propósito la reflexión del docente sobre el enfoque de la resolución de problemas, como un proceso que ha de integrar las actividades de enseñanza-aprendizaje de la matemática, tanto en la construcción de conceptos, descubrimiento de relaciones y procedimientos, como la aplicación de éstos, lo cual, a su vez influirá en el desarrollo intelectual del educando; y que sus alumnos no sean repetitivos o apliquen mecánicamente fórmulas, memoricen y sigan algoritmos. Los docentes deben dejar de enseñar ejercicios tipos, problemas ficticios, que erróneamente a este tipo de situaciones las denominan “Razonamiento matemático”, que a mi parecer deberían llamarse “Entrenamiento matemático”, ya que a sus alumnos los vuelven autómatas, que sólo repiten los “trucos” que han aprendido.

¿QUÉ ES UN PROBLEMA?

Reconociendo que hay distintas percepciones de lo que es un problema conviene para efectos del presente trabajo establecer un lenguaje común. Pero antes de dar una definición de este concepto veamos algunos ejemplos de situaciones problemas.

 Un niño andino cuya lengua originaria es quechua o aymara tiene un problema cuando no entiende bien lo que dice su profesor que sólo habla español.

 Está ante un problema el padre de familia que debe sostener su hogar con un sueldo que es menor del presupuesto que necesita para ello.

 La comunidad local o nacional enfrenta un problema cuando una epidemia y no dispone de recursos suficientes para combatirla.

 Los matemáticos están ante un problema cuando no saben demostrar un teorema.

Un problema es una situación nueva ante la cual hay que buscar y dar reflexivamente una respuesta coherente.

Los educadores matemáticos hacen con frecuencia una distinción entre problemas y ejercicios.

Por ejemplo, según Kantowski, “una tarea es un problema para un estudiante si implica una pregunta que no sabe responder o una situación que es incapaz de resolver usando los conocimientos que tiene inmediatamente disponibles”.

En un ejercicio, sin embargo, el estudiante conoce un algoritmo que, “una vez aplicado, le llevará con seguridad a una solución”.

En los estudiantes existe la creencia que las matemáticas consisten en ejercicios, no en problemas. Creencia que como docentes matemáticos debemos revertir; pues, la resolución de problemas, como dice Salmos, es el corazón de las matemáticas. Nuestras sesiones de enseñanza-aprendizaje, deben partir de situaciones problemáticas, que motiven y cuestionen la actividad matemática de los alumnos, se presente la necesidad de aprender matemática haciendo matemática.

¿QUÉ ES RESOLVER UN PROBLEMA?

La resolución de un problema de matemáticas verifica, entre otras, las siguientes condiciones:

- El resolutor se encuentra ante una situación nueva que acepta como un desafío o reto;

- El resolutor no sabe a priori cuál es la solución ni si tiene o no solución ni cómo llegar a ella;

- No se producen bloqueos ni abandonos que impidan la resolución, es decir, el resolutor confía en sus capacidades y conocimientos y reconoce que el problema está a su altura (Puig y Cerdán, 1993);

- El proceso de resolución suele ser complejo y laborioso, a veces plagado de intentos infructuosos, ante la inexistencia o el desconocimiento de un procedimiento sencillo;

- No estamos ante una “respuesta” a encontrar ni ante un destino al que llegar, sino ante un proceso o un “viaje” que realizar (Grupo Cero, 1985). Con frecuencia se trata de encontrar soluciones alternativas, fiables, eficaces y creativas a un mismo planteamiento.

La matemática, es sobre todo, saber hacer; es una ciencia en la que el método predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.

Es consecuencia, la propuesta de aprender matemática resolviendo problemas, se apoya en las actuales tendencias pedagógicas que consideran que la capacidad de resolver problemas de matemáticas es una de las exigencias fundamentales para poder comprender y vivir en un mundo cada vez más globalizado, donde la matemática se desarrolla vertiginosamente y aumentan diariamente sus aplicaciones a los más diversos campos.

De modo estrictamente referencial, podemos decir en términos generales que resolver un problema es:

• Encontrar una vía de solución allí donde no se conocía vía alguna.
• Hallar la manera de superar un obstáculo.
• Encontrar la forma de salir de una dificultad.
• Lograr lo que uno se propone venciendo las dificultades que se le presentan.

La habilidad de resolver problemas supone la capacidad de aplicar diferentes métodos, vías de solución o estrategias para encontrar solución de los diferentes problemas, sean estos problemas matemáticos o no.

Saber resolver problemas matemáticos es una de las competencias más importantes, que el educando debe adquirir en el proceso de su experiencia educativa. En este sentido, es oportuno subrayar que la resolución de problemas no es un capítulo específico ni tampoco una parte diferenciada o sólo una capacidad del currículo de matemática, sino el eje vertebrador del cual se debe organizar la enseñanza y aprendizaje de la matemática.

Dentro de este enfoque, el educando adquirirá nuevos conocimientos matemáticos, irá descubriendo relaciones matemáticas entre ellos, construirá procedimientos y también los utilizará en situaciones de su entorno individual y social.

La resolución de problemas es una actividad intelectual que debe:

• Impregnar íntegramente el currículo de matemática y
• Proporcionar el contexto que posibilite el aprendizaje de conceptos y destrezas.

¿PARA QUÉ APRENDER MATEMÁTICA RESOLVIENDO PROBLEMAS?

El aprendizaje de la matemática a través de la resolución de problemas, da la posibilidad al educando:

• Adquirir conceptos, descubrir relaciones y construir procedimientos, de otro significativo.
• Desarrollar su capacidad de investigación y razonamiento.
• Solucionar con mayor facilidad los problemas que se presenten en su vida cotidiana.
• Valorar la matemática por su aplicación en situaciones diversas de su realidad y como instrumento para el desarrollo de la ciencia y la tecnología.
• Tener un desarrollo armónico de sus hemisferios cerebrales, lo cual se reflejará en la adquisición de habilidades mentales complejas.

 La resolución de problemas es importante por su:

 Valor instrumental: aprendizaje de contenidos relevantes del área. "La resolución de problemas es una actividad de reconocimiento y aplicación de los conocimientos y las técnicas trabajadas en clase y a la vez de acreditación de las técnicas aprendidas" (Vila, 2001);

 Valor utilitario o funcional: utilidad / aplicación en la vida, en el trabajo, etc., lo que conduce a una comprensión más completa, ajustada y efectiva de la realidad involucrada;

 Valor formativo: procesos de pensamiento que ejercitan la mente en las cualidades propias de las matemáticas, hundiendo sus raíces en el conocimiento matemático, desarrolla aspectos internos como el esfuerzo y la concentración, el interés o el gusto por aceptar retos, y es fundamental para seguir aprendiendo, puesto que: “…favorece que los estudiantes puedan explorar, acomodarse a nuevas condiciones y crear conocimientos nuevos a lo largo de toda su vida” (NCTM (2003)).

Con la resolución de problemas “bien elegidos”: adecuados al nivel (ni por encima ni por debajo), motivantes (que inciten a experimentar y fomenten el gusto por la investigación y el descubrimiento), accesibles (grado de dificultad apreciable y suficiente pero sin hacer imposible el éxito), se promueve un aprendizaje relevante y de calidad con el que los alumnos conocen las matemáticas, aprenden a pensar matemáticamente y experimentan su potencia y utilidad.

FINES DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La meta general de la resolución de problemas de matemáticas debe ser la de mejorar la confianza del alumno en su propio pensamiento, potenciar las habilidades y capacidades para aprender, comprender y aplicar las matemáticas, favorecer la consecución de un grado elevado de autonomía intelectual que le permita continuar su proceso de formación y contribuir al desarrollo de las competencias básicas y matemáticas específicas.

PROBLEMAS Y APRENDIZAJE DE CONTENIDOS MATEMÁTICOS

Desde la perspectiva del desarrollo de aprendizajes dirigidos a recuperar el protagonismo del alumno, el educando es obviamente el agente principal en los procesos de adquisición de sus experiencias educativas. En este sentido, la adquisición de competencias matemáticas y el descubrimiento o elaboración de procedimientos se realiza mediante la actividad, y el descubrimiento o elaboración de procedimientos se realiza mediante la actividad del alumno o de la alumna en la resolución de situaciones problemáticas.

Esto supone:

• Un ambiente de cordialidad y confianza entre los alumnos y el profesor.
• Un ambiente rico de preguntas y especulaciones que estimulen la reflexión.
• Un ambiente en el que el docente orienta y facilita el aprendizaje de conocimientos matemáticos, así como la práctica de valores demostrando actitudes positivas frente, mediante la resolución de problemas.

CATEGORÍAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Poblete, Alvaro; Díaz V.

Universidad de Los Lagos – Chile

Se pueden encontrar diversas interpretaciones del concepto resolución de problemas tanto dentro de las matemáticas como en otras disciplinas, lo que ha originado diversos enfoque generales sobre la resolución de problemas, considerándola como actividad u objetivo. No obstante, en la enseñanza de la matemática, la palabra “problema” tiene una variedad de significados, pasando de un ejercicio escrito a una situación real, que exige una formulación matemática. Se hace necesario entonces precisar el concepto problema en matemáticas, el cual corresponde a una situación en donde el estudiante intenta responder a una pregunta hecha o realiza una tarea determinada, a la vista de su experiencia y con informaciones que le son proporcionadas en algunos casos explícitamente; le es realmente necesario buscar un medio para responder a la pregunta; debe recurrir a la matemática o a las habilidades intelectuales frecuentemente utilizadas para lograrlo.

Así, resolver o solucionar un problema, o aún encontrar una solución al problema, es avanzar hasta que se haya encontrado una respuesta correcta a la pregunta hecha o cumplido la tarea pedida. Un problema en matemáticas supone una referencia a cierta situación, es decir, a un contexto en donde se trata de algunos objetos asi como de relaciones y operaciones, haciendo intervenir estos objetos. La situación evocada puede ser de naturaleza material, abstracta o de las dos a la vez.

La situación presentada al estudiante le debe conducir a hacerse una cierta idea o representación mental. Por su naturaleza, un problema exige una búsqueda real de parte del alumno. Frente a una situación que representa para él un problema en matemáticas, el estudiante se siente en desequilibrio desde el punto de vista cognitivo, ya que para llegar a la respuesta debe necesariamente, reflexionar y buscar recurriendo a diversos procesos mentales mucho más complejos que la simple memorización. Por lo tanto, la actividad de la resolución de problemas precisa de un alto nivel de actividad mental analítica-sintética.

Finalmente, al tratar un problema de matemáticas, el estudiante debe recurrir para su resolución a los saberes como conceptos, propiedades, métodos, algoritmos o a los saber-hacer como las habilidades de razonamiento lógico.

Un ejercicio en matemáticas en cambio, es una situación donde el estudiante le viene rápidamente a la mente un medio de responder a la pregunta formulada, es decir, encuentra en forma espontánea la solución, porque resulta ser la práctica de una rutina en la cual ya ha sido iniciado. No obstante, los problemas o situaciones no problemáticas, conservan su importancia en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas jugando roles complementarios, pero claramente diferentes.

En este sentido, es la resolución de problemas la que debe construir uno de los objetivos claves del sistema escolar, habituando a los estudiantes a enfrentarse con tareas no previstas y a encontrar algún tipo de respuesta adecuada. También debe constituir un objetivo para la enseñanza de la matemática, ya que gran parte de su justificación la reciben de su aplicación y utilidad de la vida cotidiana. Estas consideraciones al significado de problema, se amplia con una distinción entre aquellos considerados como rutinarios y no rutinarios, aproximándonos a una categorización de problemas.

El desarrollo de la habilidad para resolver problemas no rutinarios es importante en todos los niveles del proceso de educación formal y una característica de ellos es que el estudiante no ha intentado previamente el problema o uno similar a este. Para resolverlos no basta con aplicar una regla o un método de manera rutinaria, a fuerza de búsqueda y de intuición hay que llegar a elaborar una solución recurriendo al conjunto de conocimientos y experiencias anteriores.

Generalmente la resolución de un problema no rutinario demanda mucho tiempo y exige una inversión importante de energía y de efectividad, voluntad de resolución y perseverancia en la búsqueda. Tratar de refinar la distinción entre un problema rutinario y un problema no rutinario, significa considerar estos últimos como aquellos problemas en donde hay que elegir una combinación de reglas, debiendo indagar bastante. Los problemas de rutina, en cambio, son similares a los que se han desarrollado durante el curso de instrucción, en donde el estudiante efectúa una serie de secuencias que involucra una comprensión de conceptos y algoritmos para llegar a soluciones válidas. Buscar otras soluciones corresponde a otro tipo de conducta que de hecho deberán ser planteadas a otros niveles.

Es importante la inclusión de variados tipos de problemas en matemáticas. En relación a esto, se han establecido clasificaciones en el desarrollo del currículo escolar: según procedimiento, según el número de soluciones y según la adecuación de los datos proporcionados.

Según el número de soluciones, se clasifican los problemas en aquellos: que tienen una solución, que tienen un número finito de soluciones, que tienen un número infinito de soluciones y en problemas que no tienen solución. También se clasifican los problemas según la adecuación de los datos en: problemas cuyos datos son completos, problemas que incluyen datos superfluos, problemas con datos ausentes y problemas que contienen datos insuficientes.

Se han indicado diferentes clasificaciones que se pueden considerar dentro de un currículo escolar. Si se quiere completar la educación matemática del estudiante, parece evidente verse enfrentados con todas estas clases de problemas, ya que cada uno de ellos estimula o favorece distintos factores. La utilización de los diversos tipos de problemas proporciona diferentes conocimientos, estrategias y habilidades, las que a su vez, se complementan entre sí en la formación del estudiante.

Aun cuando existen variadas clasificaciones, creemos que hay un componente fundamental en la estructura de un problema como es su “contexto”, esto es el ámbito de aplicación o de conocimiento al cual el problema hace referencia.

Considerando las distintas clasificaciones de problemas que hemos presentado anteriormente, optamos por una que constituye, a nuestro juicio, la base conceptual de nuestra investigación. La clasificación propuesta considera la naturaleza y el contexto del problema que hace referencia y sobre ésta efectuaremos una categorización.

CATEGORIZACIÓN

Categorizaremos los problemas en rutinarios y no rutinarios según su naturaleza, y en real, realista, fantasista y puramente matemático según su contexto.

Los problemas considerados en esta categorización, corresponden a problemas de cálculo diferencial sobre derivación y su aplicación en las áreas de la economía, las ciencias sociales, la física y el área específica de la matemática.

 NATURALEZA DE LOS PROBLEMAS

     ·.- PROBLEMAS NO RUTINARIOS: En el sentido en que un estudiante no conoce una respuesta ni un procedimiento previamente establecido (rutina) para encontrarla.

Ejemplo:

Establezca un problema de máximo donde se pueda usar la ecuación de segundo grado.

     ·.- PROBLEMAS RUTINARIOS: El estudiante conoce una rutina previamente establecida para su resolución.

 CONTEXTOS DE LOS PROBLEMAS

     ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO REAL: Un contexto es real si se produce efectivamente en la realidad y compromete el accionar del estudiante en la misma.

Ejemplo: 

En una hoja de cuaderno mida sus lados y construya una caja sin tapa cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determine el lado de los cuadrados que deben ser cortados, a fin de que el volumen sea el mayor posible.

    ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO REALISTA: Un contexto es realista si es susceptible de producirse realmente. Se trata de una simulación dela realidad o de una parte de la realidad.

Ejemplo:

Una escalera de 10 m de largo está apoyada contra un edificio vertical, La base de la escalera resbala alejándose del edificio en razón de 3 m/s. ¿A qué velocidad resbala hacia abajo el extremo superior de la escalera cuando se encuentran 8 m arriba del suelo?

      ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO FANTASISTA: Un contexto es fantasista si es fruto de la imaginación y está sin fundamento en la realidad.

Ejemplo:

Un gigante midió 1 m al nacer, en la actualidad con 5 años de vida mide 10 m. Aplicar el teorema del valor intermedio para explicar que en algún momento de su vida, la estatura de este gigante fue exactamente de 5 m.

     ·.- PROBLEMAS DE CONTEXTO PURAMENTE MATEMÁTICO: Un contexto es puramente matemático si hace referencia exclusivamente a objetos matemáticos: números, relaciones y operaciones aritméticas, figuras geométricas, etc.

Ejemplo:

Halla la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio R.

En general, la resolución de problemas de contexto real, realista o “fantasista, necesita la matematización de la situación dada, es decir, su traducción en lenguaje matemático, ya que se trata de un problema; si el proceso de matematización en cuestión debe elegir una cierta búsqueda de parte automática y sin esfuerzo, entonces no se trata de un problema de contexto, sino más bien de un ejercicio de matematización”.

LAS MATEMÁTICAS Y EL PROCESO EDUCATIVO

Teoría versus práctica

El proceso educativo es la expresión que se suele utilizar para referirse a enseñanza y aprendizaje, dualidad cuyos términos se hacen corresponder en un lenguaje coloquial con teoría y práctica. La teoría describe la forma en que se aprende y la práctica prescribe cómo las personas influimos para que se aprenda.

Hay grupos que defienden que primero hay que perfilar la teoría y luego decidir cómo hay que aplicarla y los que argumentan que es la práctica la que debe conformar la teoría.

Al impartir teoría como comúnmente se viene haciendo en las instituciones educativas, muchas veces conlleva al alumno a rechazar la matemática y tomarlo como un curso o área “tranca”, que no ve su utilidad práctica y terminan diciendo ¿de qué me sirve la matemática?

Enfocar la matemática desde un punto de vista práctico y partiendo desde la resolución de situaciones problemáticas, se genera la necesidad de aprender matemática; pues, los estudiantes tienen diferentes estrategias de abordar y solucionar un mismo problema, siendo lo primordial la solución del problema. Pues, hay modos de ascender de un nivel (de pensamiento) al siguiente y el profesor puede ayudar al alumno a encontrar esos modos. Para lograrlo necesita de una práctica y la teoría sigue de ello.

En un contraste epistemológico, poca gente discute que lo importante es aprender las matemáticas que uno va a necesitar en la vida diaria. Estudios realizados al respecto, señalan la recomendación de que las matemáticas escolares deben enfocarse a las necesidades matemáticas de la mayoría de los estudiantes que sólo las quieren para usarlas en la vida, más que para una pequeña minoría de estudiantes que necesitarán conocimientos matemáticos especializados en sus estudios universitarios o en si vida profesional (que muy bien lo puede adquirir en una academia o en la misma universidad)

Por otra parte, pensamos que lo importante es desarrollar habilidades de índole general que les sirvan para comprender la realidad en la que están inmersos, la conceptualización y significación de los procesos matemáticos generales, sabiendo dónde son aplicables y bajo que condiciones.

Lo que se quiere con esta propuesta es, también, evitar excesivas rigideces, porque cuando las matemáticas se aprenden mecánicamente, los estudiantes que aprenden algoritmos de las técnicas operativas tienen dificultades para decidir qué reglas o técnicas deben aplicar ante los casos particulares, convirtiéndose estas situaciones en problemas.