EL TRABAJO COOPERATIVO EN EL AULA

El trabajo cooperativo en el aula es más ventajoso hacerlo en equipo que en grupo.

En un grupo de trabajo con alumnos no puede existir cooperación entre ellos para desarrollar el aprendizaje, ya que cada miembro puede estar orientado en una determinada tarea o acción concreta de forma aislada, no coherente con los resultados comunes. Mientras que los equipos de trabajo desde la actividad docente debe estar orientada con tareas organizadas, con objetivos claros, con roles y funciones establecidos, de manera que la interacción beneficie el aprendizaje, que los familiaricen con las pautas cooperativas, que afiancen la sociabilidad, la tolerancia, el respeto, la responsabilidad, la interdependencia, etc. Y que todos de alguna forma asuman las mismas responsabilidades; ya que el éxito de cada uno de los miembros depende de la actividad de todos.

PROBLEMAS Y MOTIVACIÓN

Adaptación Primer Círculo de Estudios

Bachillerato Peruano

INTRODUCCIÓN

Motivar a nuestros alumnos para el estudio de la matemática es sin duda una tarea difícil, a la cual nos enfrentamos diariamente en nuestras clases, con variado éxito.

El enfoque constructivista de algún modo, nos obliga a la creación de materiales y situaciones que despiertan el interés de los alumnos por investigar, por trabajar en equipo, por crear métodos propios de solución partiendo de sus conocimientos y habilidades. Otro aspecto es el clima que se produce en el aula; las estrategias de comunicación que el profesor utilice deben promover la participación, la comunicación entre alumnos. Sin embrago, muchas veces las situaciones propuestas llevan en sí mismas un elemento de bloqueo debido tal vez a la complejidad o nivel de simbolización con que son presentados, o a que el proceso para abordarlo es único y no posibilita la exploración.



De lo anterior se desprende que una selección adecuada de situaciones problemáticas puede ayudar a generar interés por el estudio de la matemática, así como a convertir el aula en un microcosmos de actividad matemática. Si la situación problemática captura la atención de los alumnos, entonces ellos se involucrarán en un proceso de exploración, indagación y búsqueda, comentando sus resultados con otros compañeros, confrontándolos con el profesor o con los textos. En esta dinámica de trabajo, el aula se convierte en un laboratorio en el cual profesor y alumnos se sienten parte de una comunidad que utiliza la matemática como un método eficaz de razonamiento para resolver problemas científicos y cotidianos.

 

Pero, aún hoy, en pleno auge del constructivismo, de la metodología activa, de la resolución de problemas; en la mayoría de libros de texto, las situaciones propuestas son principalmente ejercicios enfocados únicamente en la adquisición de destrezas operativas básicas, en el “manejo de rutinas” y en la memorización de procedimientos algorítmicos, que por lo repetitivo de su estructura se vuelven rápidamente tediosas y limitan la creatividad de los alumnos.

Conscientes de esta carencia actual presentamos y/o compartimos diversas estrategias didácticas y modelos de materiales que nos permitirán diseñar situaciones problemáticas que logren la motivación y comunicación que requerimos para un trabajo eficaz y eficiente en la enseñanza-aprendizaje de la matemática.

 

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS: UNA APROXIMACIÓN.

Partiendo de lo trabajado por investigadores como Guillermina Waldegg, Miguel de Guzmán, Richard Driver y otros, podemos entender como “situación problemática” a una situación novedosa que tiene en su estructura las siguientes características didácticas:

• Es significativa para el estudiante porque se encuadra en contextos o circunstancias que le son familiares y atractivos.
• Es sorprendente, y representa un desafío intelectual porque lejos de requerir un algoritmo o de un procedimiento rutinario es una situación diseñada para obligar al estudiante a restructurar sus conocimientos y explicaciones con el fin de dar solución al problema.
• Su exploración debe permitir que afloren y actúen ideas previas generando conflictos cognitivos tanto personales como grupales.
• Contiene su propia validación, es decir el alumno debe poder por sí mismo o confrontando su solución con otros compañeros controlar la solución y decidir sobre la validez dela misma.
• Han de calibrarse según la capacidad y los conocimientos de los alumnos de modo que todos puedan explorarlas, con el fin de que sus pequeños logros les propongan estímulos y ánimos para tareas más importantes.

El diseño de situaciones de aprendizaje que tengan las características antes mencionadas puede resultar difícil, no todos los problemas que hemos estado proponiendo a nuestros alumnos cumplen con estos parámetros, la selección inteligente de situaciones tales, permitirá desarrollar nuestras clases desde la perspectiva del aprendizaje significativo.

Creemos que un trabajo sistemático utilizando situaciones problemáticas adecuadamente para cada etapa del proceso de enseñanza aprendizaje permitirá que nuestros alumnos:

• Razonen matemáticamente.
• Resuelvan situaciones problemáticas utilizando estrategias generales de solución.
• Utilicen la matemática como medio de comunicación.
• Establezcan conexiones al interior de la matemática y con las otras áreas curriculares.

ALGUNOS TIPOS DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS:

TÉCNICAS PARA MOTIVAR Y ENSEÑAR MATEMÁTICA

* PROBLEMAS DE CONTEXTO REALISTA

Empezar un tema matemático partiendo de las aplicaciones que en las otras ciencias o en la vida cotidiana tiene, es uno de los modos más efectivos para motivar e involucrar a los alumnos en el proceso de aprendizaje, para esto es necesario que establezcamos puentes con los demás colegas, la interdisciplinariedad es una de las grandes corrientes de la moderna pedagogía. Esta contextualización debe por su puesto ser verosímil, creíble, y oportuna; en lo posible debemos proponer un problema en el cual la incógnita sea algo que, en la realidad, se esperaría que fuera desconocida, donde la incógnita sea lo que una persona verdaderamente tendría motivo de averiguar. El uso de noticias puede ayudar muy bien contextualizar los problemas, buscar las aplicaciones de los conceptos matemáticos en la ingeniería, en la arqueología, no es una tarea fácil para el docente si su trabajo se da aislado de la comunidad en la cual se desenvuelve; es indispensable involucrar a los otros colegas en este proceso, pues de estas conversaciones surgirán trabajos e ideas interesantes.

En la Revista de Educación Matemática QUBO Año 3. Nº 07. Bachillerato Peruano 2001 del Ministerio de Educación en “La resolución de Problemas como Metodología” por María Falk de Losada, Universidad Antonio Nariño, Bogotá, Colombia; manifiesta:

En primera instancia insistimos en querer diferenciar entre lo que denominaremos problema y lo que denominaremos ejercicio o simple pregunta. Cuando se propone un problema, éste debe requerir una contribución propia u original del que lo resuelve. Esto no quiere decir que debe resultarle casi imposible resolverlo. No queremos frustrar a nuestros alumnos y tiren la toalla, sino animarlos y motivarlos. Los problemas que queremos considerar sencillamente invitan a nuestros alumnos ejercitar su habilidad de pensar y de relacionar. Si logramos motivar a nuestros alumnos hemos ganado la mitad de la batalla (“donde hay voluntad, hay camino”). Las tres características que buscamos son, por lo tanto, que sea una situación que estimula el pensamiento, que sea interesante para el alumno, y que la solución no sea inmediata. De acuerdo con estos criterios, las divisiones largas por temibles que parezcan no son problemas sino meros ejercicios.

Nuestro propósito ahora es dar sugerencias para que el colega docente pueda crear problemas interesantes para sus alumnos.

A continuación se dan ejemplos de algunos de los problemas que el profesor puede insertar en sus clases. Se verá que no se esta consumiendo inútilmente un tiempo precioso, sino que por el contrario se está realizando la actividad característica de la matemática.

Algunos de ellos se inspiran en un trabajo presentado por Thomas Butts, en el IV Congreso Internacional de Educación Matemática (agosto, 1980)

A.- Proponer una serie de ejercicios relacionados que sean ejemplos de algún patrón general. Éstos, aunque son ejercicios, conllevarán a un análisis más profundo por las interrelaciones que existen entre ellos.

Ejemplos:

1. Elegir dos números naturales cualesquiera. Halla su suma y su diferencia (restar el menor del mayor). Sumar estos dos resultados. ¿Qué observaciones pueden hacerse?
2. Elegir dos números de tres cifras que terminan en los dígitos 76 y multiplicarlos. ¿Qué se observa? ¿Qué pasa si se multiplican dos números de cuatro dígitos que terminan en 76? ¿Puede decir algo más general? ¿Cuáles de los siguientes números podrían ser potencias de 76: 12 760; 13 476; 1 456; 67 354; 5 776; 26 816? ¿Puede demostrar su resultado? ¿Puede encontrar otro par de dígitos finales con la misma propiedad?
3. Calcula: 25²; 35²; 45². ¿Qué comportamiento se observa?
4. Calcula:

          1/(1×2) + 1/(2×3)
          1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4)
          1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) +⋯+ 1/(99×100)

         ¿Qué generalización puede hacerse?


B.- Proponer el recíproco de una pregunta común. En términos generales, el recíproco de un ejercicio puede ser un problema interesante. Además, este tipo de problemas interesa porque frecuentemente existen varias soluciones, y éste es el caso más general en matemáticas.

Ejemplos:

1. Hallar tres problemas de aritmética cuyo resultado final sea 13. Incluir cada una de las cuatro operaciones elementales al menos una vez, o alternativamente, exactamente una vez.
2. ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir con tres “doses”, con tres “treses”, con tres “nueves” y ningún símbolo operatorio?
3. Hallar tres sólidos cuya área superficial sea 60 cm².
4. Escribir 45 y 525 como la suma de enteros consecutivos de tantas maneras como sea posible. (Debe especificarse si se permiten negativos o no)
5. Proponer “alfaméticos” como el siguiente:

                     ABC
                   xBCA
                   * * * C
                * * * A
             * * * B      
             * * * *  *  *


C.- Proponer problemas que requieren un ejemplo del alumno. Éstos, bien utilizados, pueden encaminar al estudiante hacia el descubrimiento de relaciones importantes en la matemática. Por otra parte, la gran variedad de respuestas a algunos de ellos tiende a desfavorecer a aquel alumno que memoriza sin entender.

Ejemplos:

1. Dar un ejemplo de una fracción menor que 1/300.
2. Dar un ejemplo de una fracción mayor que 15/17.
3. Dar un ejemplo de un triángulo en el cual una de las medianas coincide con una altura.
4. Dar la ecuación de una circunferencia que sea tangente a ambos ejes coordenados.
5. Dar un ejemplo de una región rectangular cuya área es igual, en valor numérico, a su perímetro.

D.- Proponer un problema con datos realistas. Este punto conjuntamente con el siguiente, nos guían hacia el mejor contexto de los problemas. El enunciado de los problemas debe hacerse en un contexto que tenga interés para el alumno. Hay gran variedad de personalidades en cualquier grupo de estudiantes, pero hay dos contextos que han mostrado ser de gran motivación: el más realista y el más imaginativo.

Ejemplos:

1. Un parásito se divide en dos cada 27 h. Si todos los parásitos sobrevivieran, ¿en cuánto tiempo ocuparían los descendientes de un solo parásito un volumen igual al del sol? Suponemos además, que la cuadragésima generación de parásitos ocupa un volumen de 1 m³ y que, el volumen del sol es aproximadamente de 10²⁷ m³.
2. Un galón de pintura es suficiente para cubrir 12 m² de pared. ¿Cuántos galones debo comprar para dar dos manos de pintura a una pared de 3,45 m de ancho y 2,30 m de alto, si tiene un zócalo de 10 cm de alto y dos ventanas de 1,20 m de alto y 98 cm de ancho?
3. El agua marina corriente contiene sustancias disueltas, aproximadamente 33 000 ppm (partes por millón). Esta agua es altamente tóxica para el consumo humano porque contiene elementos cono bario y boro además de sustancias más comunes como calcio, potasio, sodio, magnesio, etc. El agua marina reducida a 5000 ppm resulta todavía tóxica. Aunque se ha comprobado que los humanos pueden tolerar hasta 3000 ppm, esto sólidos disueltos no deben exceder 500 a 1000 ppm en agua potable de buena calidad. En el agua que se utiliza para irrigación no debe haber más de 1500 ppm de dichos sólidos. ¿Cuántos galones de agua marina deben mezclarse con agua potable de 500 ppm para obtener 1000 gl (galones) de agua para irrigación de 1500 ppm?

E.- Proponer un problema donde la incógnita sea algo que, en la realidad, se esperaría que fuera desconocida. Este es un punto clave en el problema realista que ilustraremos con el siguiente Ejemplo:

• El coliseo cerrado "Señor de Huamantanga" (Jaén) tiene capacidad para 20 000 espectadores; 8000 de preferencia y 12 000 de admisión general. Los boletos de preferencia valen S/. 100.00 y los de admisión S/. 50.00. El conjunto sensación HUACHITURROS dio un concierto en el coliseo. Si se recaudó la suma de S/. 1 300 000 de la venta de boletos, ¿cuántos de preferencia se vendieron?

Esta es una pregunta estéril porque el administrador del coliseo sabe seguramente cuántos boletos de cada tipo fueron vendidos. Pero, en la etapa anterior a la realización del concierto, hay que plantear las estrategias (de distribución de boletos, propaganda, etc. A seguir. Un problema más realista sería el siguiente:

• El coliseo cerrado Señor de Huamantanga tiene capacidad para 20 000 espectadores; 8000 de preferencia y 12 000 de admisión general. Los boletos de preferencia valen S/. 100.00 y los de admisión S/. 50.00. El promotor estima que sus gastos para limpieza, programas, etc. serán de S/. 100 000.00. Si HUACHITURROS pide el 40% del valor de cada boleto vendido además de una suma base de S/. 40 000.00, ¿cuántos boletos de preferencia tendrá que vender para no sufrir ninguna pérdida para lograr una ganancia de S/. 500 000.00?

F.- Proponer un problema donde la incógnita sea algo que una persona verdaderamente tendría motivo de averiguar.

Frecuentemente, la actividad matemática de los docentes reduce la participación estudiantil a horas de aburridos ejercicios, que fijan una determinada fórmula, por ejemplo, como la que intenta formalizar la matemática escolar y reducirla a la memorización de definiciones, propiedades, etc., se burlan de la actividad propia del matemático a través de los siglos y de cualquier utilidad que podría tener el área de matemática para la vida de los hombres. El hecho es que en la vida real casi nunca se encuentran problemas como 90:12, ó 500-178 ó x²-2x+1=0; sino como el siguiente: Si la docena de huevos vales S/. 4.00, ¿cuántos huevos alcanzo comprar con los veinte nuevos soles que tengo? o, si el cliente compra artículos por el valor de S/. 178.00 y me da un billete de S/. 200.00; ¿cuánto le debo dar de vuelto? Estos, por sencillos que sean, ya son problemas porque no reducimos la actividad del alumno al de una calculadora dándoles los números pertinentes. Si luego prosigue a hacer los cálculos él mismo, o los hace con calculadora no importa. Le estamos preparando para enfrentar las situaciones que se le pueden presentar tanto en la “vida real” como en sus estudios posteriores, es un ser que piensa, que entiende el tema suficientemente como para usarlo para resolver un problema, de manera similar a los matemáticos cuya obra estudiamos.

Como ejemplos, podemos citar los siguientes:

1. Si una docena de huevos vale S/. 4.00, ¿cuántos huevos puedo comprar con los S/. 20.00 que tengo?
2. Una pizza mediana de diámetro 20 cm sirve a dos personas. ¿Cuántas personas se podrán servir con dos pizzas grandes de diámetro 30 cm?
3. Alguien quiere comprar un carro nuevo pero no puede pagar más de S/. 3000.00 mensuales. Si los préstamos sobre carros se hacen a lo sumo por 36 meses con un interés mensual de 2,4% y sin cuota inicial, ¿qué valor debe tener el carro que la persona contempla comprar?

G.- También forman parte del realismo aquellos problemas que contienen datos extraños o insuficiente información. En la práctica casi todo problema se nos presenta en un contexto envuelto en datos que no tienen nada que ver, o análogamente, donde nos faltan datos para obtener una solución determinada.

En el problema anterior, por ejemplo, nos falta el precio mínimo que tengan los carros nuevos, pues de nada nos sirven las condiciones si este mínimo es de S/. 72 000.00. ¿Por qué?

Un problema netamente geométrico que acostumbra al estudiante a enfrentar situaciones donde faltan datos para precisar la solución siguiente:
Dos lados de un triángulo tienen longitudes 4 cm y 6 cm respectivamente. Halla el perímetro y el área del triángulo.

Aplicando el razonamiento apropiado obtenemos: 12<=P<=20, y, 0<=A<=12, o sea, el problema en realidad posee más de una solución. Es falso decir que no posee ninguna.


 * PROBLEMAS ABIERTOS

El alumno se enfrenta a una búsqueda, a una exploración de casos plausibles y hará uso de toda su creatividad para diseñar caminos lógicos que lo guíen hacia la(s) respuesta(s).

La demostración de teoremas puede presentarse muchas veces en forma de problema abierto.

En este tipo de problemas, el enunciado no indica nada sobre la forma como se puede resolver; no suelen contener respuesta única y los caminos por los cuales uno puede llegar a la solución son variados. Por lo tanto, las palabras que se utilizan deben seleccionarse cuidadosamente para encaminar al alumno a entenderlo.

A.- En primer lugar, donde es posible, como ya se mencionó, debe llevarlo a formular una hipótesis o estimar la respuesta.

Por ejemplo, en lugar de proponerle que demuestre que para todo n = 2; 3; 5 es un cuadrado, puede particionarse en “n” cuadrados más pequeños. Preguntamos: ¿Para cuáles enteros positivos “n” es posible particionar un cuadrado en “n” cuadrados más pequeños?

En lugar de decir: “Demostrar que (n-1)! = 0 (mod n) si y sólo si n es un número compuesto mayor que 4”, decir: ¿Para cuáles enteros positivos n, es n un factor de (n-1)(n-2)…3.2.1? Por ejemplo, 5 no es factor de 4x3x2x1 = 24, pero 6 si es factor de 5x4x3x2x1 = 120

Los ejemplos se han propuesto para dar una pequeña pista o para dejar en claro el enunciado del problema.

B.- Otra expresión que puede usar para enunciar un problema abierto es “hallar todos”, o ponerlo en forma de pregunta.

Unos ejemplos son:El rey de los problemas es el “problema abierto” que invita al alumno a una verdadera experiencia investigativa. Una de las situaciones privilegiadas para lograr desarrollar en los alumnos el espíritu de la investigación son los problemas abiertos. Se tratan de situaciones tales que lleven al alumno a formular una hipótesis para definir mejor los límites del problema. También se construyen en base a la instrucción “hallar todos”.

1. Hallar todos los números primos "p" para los cuales 5p+1 es un cuadrado perfecto.
2. ¿Para cuáles enteros positivos n tiene la fracción 1/n una expresión decimal finita?
3. ¿En cuáles cuadriláteros ocurre que las diagonales se bisecan?

C.- Por otra parte, para animar a la investigación podemos:

• Proponer en forma de pregunta un problema que no tiene ninguna solución.
• Proponer en forma de pregunta un problema que tiene una única solución.

Consideramos los ejemplos siguientes:

1. ¿Cuáles enteros del conjunto {17 ; 25 ; 37} pueden escribirse como la suma de dos números primos?
2. ¿Para cuáles valores enteros de (x,y) tiene solución la ecuación: 12x + 31y = 170?

D.- Proponer un problema imaginativo. Esta es la otra cara de la moneda, pues los dos extremos, problemas realistas y problemas bien imaginativos, son los más indicados para provocar la curiosidad e interés del alumno.

Un ejemplo bastante conocido es:

1. Dos ciclistas que están separados por una distancia de 200 km arrancan al mismo tiempo para encontrarse. El primer ciclista viaja a 25 km/h y el segundo a 20 km/h, al mismo tiempo, un mosco empieza a volar entre las dos bicicletas, comenzando en el punto más delante de la bicicleta del segundo pedalista. Si el mosco vuela a 40 km/h y va y viene entre las dos ciclas, sin perder tiempo para cambiar de dirección, ¿cuánta distancia cubrirá el mosco antes de que se encuentren las ciclas?, o este:
2. Ocho ranas de diferentes razas en encuentran en un tablero de ajedrez de tal forma que no hay dos de ellas en la misma fila o columna. Al darles la señal, empiezan a saltar simultáneamente a razón de un salto por segundo (1 salto/s). Si se cumple siempre que no se encuentran dos en la misma fila o columna, ¿durante cuánto tiempo podrán saltar sin volver a un arreglo (disposición) que ya habían ocupado?

Finalizando, y a manera de resumen, podemos señalar que lo que buscamos es proponer un problema de tal manera que el alumno se sienta motivado para resolverlo, lo entienda y recuerde luego el concepto o método pertinente, y aprenda así algo del "arte de resolver problemas" que le servirá tanto en sus estudios posteriores como en las relaciones que hará entre sus estudios y los problemas que enfrentará en la vida real.

A manera de comentario, no se debe caer en este tipo de problemas ficticios para enseñar matemática; por lo que se debe enfatizarla desde la resolución de problemas de contexto realista y más aún de contexto real.


* PROBLEMAS FANTÁSTICOS

Este es el segundo escenario que ha demostrado ser de gran motivación entre un grupo de alumnos, el hombre es por naturaleza lúdico, y cualquier enigma, rompecabezas o paradoja que desafíe a su inteligencia producirán los resortes de predisposición paraa enfrentar el problema; una vez logrado esto, el profesor puede llevar a los alumnos a campos más complejos del saber.

Existen muchos de estos problemas en los libros de recreaciones matemáticas. Una selección adecuada de acuerdo al contenido programático es un bagaje efectivo para todo profesor.

Es importante considerar que estos problemas requieren también una adecuada presentación, crear la atmósfera será entonces tarea de un buen facilitador, si bien el dato curioso, el elemento de ficción o el contexto extraordinario en el que se encuentran enmarcados estas actividades producen el interés del alumno, es importante que el docente mantenga ese interés a partir de preguntas y problematizaciones para llevar a los alumnos a explorar e investigar temas matemáticos de importancia y a establecer relaciones con otros de mayor profundidad.

* RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO RUTINARIOS

Situaciones en las que se presenta un problema para cuya solución no se conoce de antemano un algoritmo. Se recomienda trabajarlos en equipos de cuatro estudiantes.

* SITUACIÓN PROBLEMÁTICA POR CASOS

Se realiza o se da un problema de texto, de título atractivo, luego de resolver (o intentar) éste, cambiamos diferentes datos, cantidades, variables, etc.

La estrategia para trabajar podría ser primero un trabajo individual, luego en parejas y después en grupos, aquí se entrega otra ficha que presente la estrategia de cómo resolver la primera.

* PROPUESTA DE PROBLEMAS E INVESTIGACIONES

En general estamos rodeados de situaciones que pueden suscitar líneas de investigación en diversos campos, desde el matemático hasta el filosófico.
 

En esta técnica los alumnos son puestos en contacto con una situación y ellos señalan las posibles líneas de investigación que les suscita tal situación. A diferencia de otras actividades que son planteadas por el profesor aunque recojan iniciativas, preguntas o sugerencias de los alumnos que deben ser resueltas completamente, aquí sólo se requiere que los estudiantes propongan nuevos problemas o investigaciones relacionadas con el tema en estudio.

* PROYECTOS MATEMÁTICOS

Resumimos aquí algunas de las características de esta técnica presentadas por Brian Bolt y David Hobbs, en su libro “101 Proyectos matemáticos”.

Problemas o tareas que no siendo familiares, den ocasión para desarrollar la iniciativa y versatilidad del alumno, estimulando así el espíritu de indagación.

Tareas en las que puedan utilizarse variedad de estrategias y destrezas, por lo general exigen un manejo interdisciplinario en el proceso de investigación.

Problemas y estudios en los que sea preciso recoger información y hacer deducciones.

Situaciones susceptibles de ser investigadas, que ofrezcan ocasión para estrategias de aproximación sucesiva por tanteo y búsqueda de pautas.

Tareas de larga duración que capaciten al alumno para investigar en profundidad un tema.

Oportunidades para que los alumnos generen sus propias actividades investigadoras.

Ejemplo: Literatura Lúdica Matemática

En el año 1961, el poeta francés Raymond Queneau publicó el libro de sonetos Cent mille milliards de poémes (cien mil millardos de poemas); sin embargo, libro sólo contenía diez sonetos de catorce versos cada uno.

Consultado el autor sobre esta aparente contradicción, dijo que para leer más sonetos uno debería crearlos a partir de los publicados, de la siguiente manera: se elige un verso de cualquiera de los iniciales de los sonetos, el segundo verso es también elegido de entre los diez segundos versos, y así sucesivamente hasta obtener catorce versos.Los proyectos o trabajos de curso, son efectuados a lo largo de un bimestre, trimestre o semestre, estos han de ser investigaciones que exijan del grupo de alumnos que lo lleva a cabo iniciativa e independencia. Entre las actividades sugeridas se cuentan:

• Investiga cuáles son las características de un soneto.
• Calcula cuántos sonetos distintos se puede formar siguiendo las normas de Queneau.
• Investiga sobre el nombre de los órdenes de numeración.
• Describe la estructura del libro de Queneau. Escriban una versión reducida del libro considerando cuatro sonetos generadores.
• Lee el cuento Examen de la obra de Herbert Quain de Jorge Luis Borges. Investiga una situación problemática a partir de este relato.
• Investiga sobre los libros de la serie Elige tu aventura. En ellos al término de cada capítulo se plantean varias alternativas para continuar su lectura. Elabora una situación problemática partiendo de la estructura de uno de estos libros.
• Investiga con tus profesores de literatura otros cuentos y novelas en los cuales la combinatoria toma parte activa.

Ó 2000, David Palomino A.



Con este proyecto, también se articula el área de matemática con el área de comunicación y se puede presentar como actividad de transferencia para el tema de combinatoria: principios de la adición y multiplicación, diagramas de árbol y de cajas, etc.

* PROYECTO-INVESTIGACIÓN-MISIONES POSIBLES

Se busca que los estudiantes, en grupo, trabajen fuera de clase en un problema que requiere hacer un trabajo de investigación que involucra situaciones de manipulación concretas, formulación de hipótesis y modelaje. Los estudiantes deben producir un reporte y presentar al resto de la clase sus resultados.

 

Se elabora de la realidad y se elabora en relación con otros profesionales, por ejemplo con economistas, ingenieros civiles, enfermeras, etc. El trabajo se desarrolla en más de dos semanas y es sustentado (expuesto) al final de un mes aproximadamente (al terminar una unidad de enseñanza-aprendizaje).

 

* HACER PROTOCOLOS HEURÍSTICOS

A medida que se va resolviendo una situación planteada, se van expresando por escrito los sentimientos y procesos seguidos.

 

La heurística es el arte y la ciencia del descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o pensamiento divergente. Pues, heurística significa «hallar, inventar»

 

* ELABORACIÓN DE DEFINICIONES

¿Qué es una definición? Podemos afirmar que en esencia una definición en matemática es una puesta de acuerdo por la comunidad matemática en llamar a algún concepto de una determinada manera, esta definición obviamente debe permitir manejar el objeto definido dentro de las estructuras y redes conceptuales que se construyen a partir de ella. Es importante que los alumnos logren comprender lo que significa en sí una definición matemática, para conseguirlo podremos presentar breves ejemplos de determinado objeto matemático, a partir del análisis de las características comunes de estos ejemplos, los alumnos con la supervisión del profesor, elaborarán en grupos una definición matemática para ese objeto. Luego en una puesta en común los grupos son confrontados con las definiciones formales que aparecen en los textos.

 

Así por ejemplo, mediante gráficos o expresiones simbólicas se presentan diferentes situaciones de las que deducirán las definiciones. ¿Cuál de estas es diferente y que se llama?, etc.

 

* ELABORACIÓN DE FLUJOGRAMAS PROCEDURALES

A partir de la solución de problemas particulares, se pide encontrar un procedimiento general, para esto se proponen a los alumnos una serie de problemas relacionados por su estructura, luego comparten sus soluciones extrayendo conclusiones sobre lo invariante en el proceso de resolución de problemas; en grupos los alumnos luego de analizar sus resultados proponen un flujograma, que será expuesto a toda la clase para su análisis y validación.

 

Una variación de esta técnica es presentar flujogramas incompletos que los alumnos llenarán conforme resuelvan los problemas de estructura similar.

* DIVERSAS REPRESENTACIONES

 

En estas representaciones se busca que el alumno trabaje en las diversas representaciones simbólicas de un objeto matemático con el fin de profundizar en el significado de los parámetros de esas representaciones.

 

Esta técnica puede ser muy bien aplicada desde los primeros años de formación; uno de los indicadores de un concepto matemático es poderlo reconocer en distintos contextos, este manejo de las representaciones ayuda bien a ello.

* CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS

 

Se presenta a los alumnos información parcial pero complementaria que describe a un determinado objeto matemático que ellos deben construir; información que puede determinar unívocamente o no, el objeto pedido. Al igual que un arqueólogo, o un detective, los alumnos construyen el objeto a partir de las pistas o claves brindadas, luego comparan sus resultados con los conseguidos por otros estudiantes reflexionando sobre las semejanzas o diferencias entre las soluciones comparadas. Esta actividad estimula la creatividad a la vez que permite que los alumnos identifiquen información relevante, redundante y analicen la suficiencia de la información presentada.

 

En estos ejercicios se busca que el estudiante dé la descripción más completa posible de un objeto matemático que puede ser una función, una desigualdad o una ecuación. Para eso, como ya se dijo, se da información parcial pero complementaria en sus representaciones verbal, tabular, gráfica y simbólica. Con varias pistas el alumno construye un objeto matemático.

Ejemplos:

1. Halle los valores de a y b de tal forma que la siguiente afirmación sea verdadera: “El conjunto solución de la desigualdad -|x+2| + 4 > a es S=(b;0)"
2. El conjunto solución de la desigualdad f(x)≥g(x) es [-2;0)∪(1;3]. Se sabe que:

           -  La función f es segmentada definida sobre todos los reales.
           -  La función g es de la forma g(x)=a|x-b| + c, donde a, b y c son números enteros.

    +. Encuentre expresiones para f y para g, de manera que cumplan las condiciones dadas.
    +. Resuelva la desigualdad planteada y muestre que tiene el conjunto solución propuesto.

* REDACCIÓN DE ENSAYOS, ARTÍCULOS O INFORMES

Los alumnos individualmente o en grupos, elaboran un artículo o un informe sobre un tema prefijado por el profesor recurriendo a fuentes diversas (bibliografías, de campo, internet, etc.) Los trabajos son analizados y comentados por el profesor lo que le permite obtener datos importantes para la evaluación formativa del aprendizaje de los alumnos y de su propio proceso didáctico.

En estos ejercicios se les pide a los estudiantes que hable acerca de un objeto matemático. Se pide que integre todas las representaciones y características posibles del objeto en un texto que podría ser leído por otras personas.

* DIÁLOGOS O CUENTOS

Se elaboran cuentos o diálogos que involucran a objetos matemáticos.


* PRESENTACIÓN DE ANÉCDOTAS HISTÓRICAS

Se presentan anécdotas históricas con relación al tema a tratar.

* PRESENTACIÓN DE FALACIAS MATEMÁTICAS, RAZONAMIENTOS EQUÍVOCOS, PARADOJAS

Una de las técnicas que permite al docente crear conflictos cognitivos a la vez que despierta el interés de la clase por investigar y participar en la solución de la situación presentada, es utilizar falacias o mostrar razonamientos equívocos, o paradojas.

Una falacia matemática es una proposición cuya falsedad es evidente, pero es posible demostrarla utilizando argumentos falaces tan habitualmente escondidos que requieren una comprensión clara de los conceptos matemáticos para descubrir el engaño.

Las paradojas a su vez son verdades susceptibles de ser demostradas con rigor, pero que se oponen al sentido común.

Un uso adecuado de estas categorías pueden llevar a los alumnos a una mejor comprensión de la estructura matemática, a la vez que se hace evidente para ellos la necesidad de fundamentar rigurosamente los procedimientos que utilizan en sus cálculos o demostraciones.

 

Como se escribe líneas arriba, una falacia es una expresión falsa que se demuestra con argumentos aparentemente verdaderos. Así por ejemplo:

¿Cuatro es igual a uno?

Es evidente que        :          0 = 0
O bien                       :  4  -  4 = 2 - 2
Entonces                  :  2² - 2² = 2-2
Recordando que      :    a² - b² = (a+b)(a-b)

Tenemos que        :  (2+2)(2-2) = (2-2)x1
Simplificando        :         2 + 2 = 1
Se demuestra que :               4 = 1

 

Comentario:

La falta radica en que al momento de simplificar el factor (2-2), se incurre en una división entre cero, que no está definida e introduce un error.

* JUEGOS DE ESTRATEGIA (O INVESTIGACIÓN DE JUEGOS DE ESTRATEGIA)

Los juegos de estrategia son presentados con el fin de que a través de la experimentación y de un trabajo grupal organizado, los alumnos sean capaces de elaborar una estrategia para ganar sistemáticamente.

Los juegos de estrategia que pueden ser analizados desde esta perspectiva deben reunir las siguientes características.

     -  Ser bipersonales, y se juegan por turnos.
     - 

No debe incluir elementos de azar.

     -  En todo momento los jugadores tienen información sobre el estado de la partida.

Ejemplo: Eliminando puntos.

El juego es de dos personas (bipersonal) y consiste en que dado tres puntos, los participantes podrán borrar alternadamente uno, dos o tres puntos, el último en borrar pierde. ¿Cómo hacer para ganar siempre?

* MATEMATICUENTOS

Algunas situaciones pueden redactarse e forma de cuentos o con diálogos, la trama puede diseñarse para introducir conceptos o procedimientos. Otra forma es buscar obras literarias que hagan referencia a algún concepto matemático y elaborar una guía de investigación con preguntas referentes al texto en cuestión. Relatos como El escarabajo de oro de Edgar Allan Poe o Examen de la obra de Herbert Quain de Jorge Luis Borges pueden sernos de mucha utilidad.

En algunos centros españoles se está experimentando con representaciones teatrales interactivas que buscan promover el razonamiento sobre temas matemáticos, y los procesos de solucionar problemas.

* TRUCOS MÁGICOS (MATEMAGIA)

El término matemagia fue acuñado en 1993, por el matemático y mago Royal Vale Heath, para nombrar al curioso matrimonio entre magia y matemática. Los trucos que se presentan a los alumnos están basados en procedimientos matemáticos tan sutilmente escondidos que resulta sorprendente el efecto que con ellos se logra. La actividad consistirá en presentar un efecto mágico para que los alumnos lo exploren y descubran el concepto o proceso matemático subyacente al juego. En una etapa posterior se les presenta una ficha de investigación para realizar variaciones sobre el truco descubierto, de este modo los alumnos pueden inventar sus propios trucos partiendo de la estructura matemática subyacente al juego y que fue descubierta en la etapa anterior.

Ejemplos:

1.  ¿Cómo adivinar un número de dos cifras?

Pídele a una persona que piense un número de dos cifras y que lo multiplique por 3, agrégale 1 al resultado, nuevamente multiplique por 3 y luego sume el número pensado. Al resultado se separa la última cifra de la derecha y lo que queda es el número pensado.

Así por ejemplo:

          Número pensado        :  14
          Multiplicado por 3       :  14x3 = 42
          Agregar 1                   :  42 + 1 = 43
          Multiplicado por 3       :  43x3 = 129
          Sumar el Nº pensado :  129 + 14 = 143
          Del resultado 143, se suprime la última cifra (3), entonces el Nº pensado es 14.

1.1.-  Explique, matemáticamente, porqué se da este hecho.
1.2.-  Proponga otra situación análoga, en la que se pueda adivinar un Nº de tres cifras.

Este ejemplo puede ser muy útil para motivar ecuaciones de primer grado con una variable.

         Número pensado        :  x
         Multiplicado por 3       :  3x
         Agregar 1                   :  3x +1
         Multiplicado por 3       :  3(3x+1)
         Sumar el Nº pensado :  3(3x+1) + 14 = 143

         Se resuelve la ecuación y se obtiene el resultado: x=14

2.  Los enigmas del calendario

Las páginas de tu calendario encierran muchas curiosidades matemáticas. Si tienes la hoja del mes de marzo, por ejemplo, te servirá para el mes de noviembre, con la única diferencia de que este mes tiene sólo 30 días, (observa tu calendario). Algo parecido ocurre con los meses de abril y julio, y de setiembre y diciembre, que tienen la misma distribución de días, respectivamente. Los calendarios pueden sugerirnos interesantes preguntas: ¿Cómo saber el día de la semana en que naciste?, ¿Por qué el mes de octubre es el décimo mes?, ¿Qué años son bisiestos como el 2012?, o ¿Cuándo será la fecha del próximo viernes santo?, etc.

Además, un calendario nos puede servir para hacer algunos “juegos matemágicos”. Veamos algunos ejemplos:

1. Observa la hoja del calendario que te mostramos, elige una columna, y suma tres números de casillas consecutivas (que se encuentran en la misma columna), comunica el resultado a tu profesor. Él te dirá qué números sumaste. ¿Cómo crees que tu profesor descubre los números que sumaste, sin necesidad de ver la hoja del calendario?
2. Si al sumar cinco números de cinco casillas consecutivas de una columna se obtiene 75, ¿podrías descubrir qué números se han sumado sin mirar el calendario?
3. Traza un cuadrado de dos por dos (casilleros) y suma los cuatro números interiores. ¿Puedes hallar una relación entre el total y el número menor? Prueba con varios cuadrados de dos por dos.
4. Extiende el método para un cuadrado de tres por tres.

Si consideras un cuadrado de tres por tres casilleros del calendario y sumas los números de cada diagonal, ¿qué relación encuentras entre estas sumas? ¿Podrías demostrar tu afirmación? 

FUENTE: Carranza, Cesar. Matemática 1. Bachillerato Peruano. Lima-Perú 1999.

Estrategias:

Es recomendable que el profesor practique este juego (en su casa, con amigos, con colegas, etc.) antes de jugar con sus alumnos, para que adquiera dominio y seguridad. Lo importante es que los estudiantes descubran los artificios, que en verdad sólo son consecuencia de la aplicación de algunas propiedades de la adición y de la multiplicación para resolver mentalmente ecuaciones muy sencillas. Si toma mucho tiempo practicarlo en clase (que bien usado no es pérdida de tiempo) puede dejarse como tarea domiciliaria para que los alumnos lo sigan analizando entre amigos y/o en sus hogares.

 

Una primera actividad con una hoja de calendario es verificar que si por ejemplo hoy es lunes, se puede saber la fecha del próximo lunes sin mirar el calendario. A partir de esto se puede deducir que lo mismo se puede hacer con cualquier día de la semana y no sólo con el próximo, sino también con el anterior o con el subsiguiente, etc. Todo es cuestión de añadirle al día conocido 7, o restarle 7, o sumarle 14, etc. Hay que tener cuidado si se pasa de un mes a otro.

 

Para “adivinar” los números que el alumno ha sumado, basta tener en cuenta que la suma es de la forma: x+(x+7)+(x+14) = resultado del alumno; en consecuencia el resultado es: 3x+21; o sea : 3(x+7). Conociendo este resultado (el que dice el alumno) y dividiéndolo entre 3, el número que se obtiene es el que corresponde a la fecha “del centro” x+7. Evidentemente las otras fechas se obtienen restándole 7 y sumándole 7 al resultado que se obtiene de dividir la suma entre 3.

Ejemplo: Si el alumno ha sumado los números 8, 15 y 22 (que corresponden a tres jueves consecutivos del mes de marzo del 2012) dirá al profesor que su suma es 45. El profesor divide mentalmente 45 entre 3, obtiene 15 (que es el jueves del “centro”) y restando 7 y sumando 7 obtiene 8 y 22, con lo cual ya puede decir a su alumno que los números que sumó fueron 8, 15 y 22.

 

Similar razonamiento se hace si se suman los números de 5 casillas consecutivas de una misma columna. Naturalmente que tal caso hay que dividir entre 5 para obtener el número “del centro”.

Aunque el razonamiento es esencialmente el mismo para el caso de un número par de sumandos, la situación es ligeramente más complicada.

Al sumar los números de las casillas de un cuadrado de dos por dos se obtiene una suma de la forma: 4x+16 = resultado del alumno (pues los sumandos son de la forma: x, x+1, x+7, y x+8), que puede escribirse como: 4(x+4) y así se ve fácilmente que al dividirlo entre 4 y al resultado restarle 4 se obtiene el número x, que es el menor de los cuatro sumandos del cuadrado elegido.

 

 

* TÓPICOS DE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

Conviene también trabajar con los alumnos aspectos históricos de la matemática. Problemas que generaron el descubrimiento de nuevas teorías. Biografías de matemáticos y su aporte al desarrollo de la matemática. Un acercamiento histórico resulta muy impactante pues muestra a los alumnos que la matemática es una de tantas actividades humanas y que sus actores principales son personas iguales a ellos.

 

 

* EVALUACIÓN DE CONJETURAS

Una conjetura es una expresión que se considera verdadera mientras no se compruebe lo contrario.

Ejemplo:

El producto de dos números irracionales es siempre otro número irracional.

Falso, pues √2×√2 = √4 = ±2

* BÚSQUEDA E IDENTIFICACIÓN DE PATRONES

Expresiones matemáticas que permiten primero llegar a una generalización y después a una demostración.

Ejemplo:

Si tenemos que:

          4² - 3² = 4+3
          7² - 6² = 7+6

          9² - 8² = 9+8
          ⋮

Entonces:

          (n+1)² - n² = (n+1) + n = 2n+1

Demostración:

          (n+1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n+1

* RAZONAMIENTOS DIRIGIDOS

Una técnica muy útil que permite una fuerte interacción entre alumnos, material y docente es el uso de “fichas de razonamiento dirigidos”, para explorar propiedades de objetos, que luego se discuten y demuestran.

 

Se presenta a los alumnos fichas con teoremas o propiedades, con argumentos inacabados, con numerosas lagunas que el alumno debe rellenar, o desordenados para que los ordene. De esta manera se irá desarrollando la habilidad para establecer un control lógico en el proceso de una demostración, al mismo tiempo que enriquece la valoración sobre el rigor matemático y su utilidad para construir el conocimiento formal.

* CORRECCIÓN Y/O COMPLETAMIENTO DE CÁLCULO

Se presenta a los alumnos ejercicios con cálculos incompletos, cálculos desordenados o con errores para que los complete o evalúen y corrijan. Estos, aunque son ejercicios, nos permiten lograr que los alumnos reflexionen sobre sus estrategias de cálculo e incrementen sus destrezas operativas básicas. La diferencia con la anterior técnica es que aquí se seleccionan básicamente ejercicios de tipo algorítmico, de cálculo, o proceso establecido.

Ejemplos:

En los siguientes ejercicios, detecta los errores, corrígelos y verifica si la solución es correcta:

1.  Resuelve: (x+2)/(x+3) < 4
     Solución:
                                   x+2 < 4(x+3)
                                   x+2 < 4x + 12
                                    -10 < 3x
                                      x > -10/3

2.  Resuelve:  x² + 3x - 1 < 0 
     Solución:
                             x² + 3x < 1
                x² + 3x + (3/2)² < 1 + (3/2)²

                            (x+3/2)² < 13/4
                                x+3/2 < √13/2
                                       x < √13/2 - 3/2
     C.S. = ⟨-∞ ; (√13-3)/2]

* LLENADO DE TABLAS

Se presentan tablas con ciertos datos (gráficos, expresiones numéricas, expresiones algebraicas, etc.) que permitan el llenado por completo de toda la tabla.

En las tablas, los alumnos rellenan casillas vacías; con la información dada en algunas de ellas, los estudiantes pueden encontrar patrones de comportamiento que les permitan formular algunas hipótesis, que luego se validará con la información de otras casillas. Las tablas dan una visión general y permiten evidenciar relaciones entre representaciones o conceptos.

Ejemplo:

Complete los espacios en blanco.



* EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS 

Una de las maneras de evaluar la comprensión de un concepto o de un teorema consiste en pedir ejemplos de objetos que cumplan o no con determinadas condiciones de teoremas o definiciones. Los ejemplos y contraejemplos actúan como organizadores y ayudan a dar sentido al mensaje; mejoran la comprensión y discriminación, por lo cual son fundamentales en el aprendizaje de conceptos y estructuras conceptuales. Una utilización adecuada de esta técnica nos puede permitir evaluar el avance de la clase, además favorece el pensamiento autónomo, y pueden encaminar a los alumnos a descubrir relaciones importantes en la matemática, adicionalmente dada la gran variedad de respuestas posibles a algunos de ellos, tiende a desfavorecer a aquel alumno que memoriza sin entender y favorece a aquel que razona críticamente.

REFLEXIÓN FINAL

Las técnicas para motivar y enseñar matemática presentada arriba es una pequeña clasificación, que de ningún modo es exhaustiva ni concluyente. Como todo intento por clasificar tiene sus deficiencias y es que algunas veces una determinada situación puede ser incatalogable, ¿cuándo es un cuento matemático? y ¿cuándo es un tópico de historia de la matemática?, por ejemplo. Pensamos que esto no debe ser un problema que impida comenzar introduciendo estas técnicas en nuestra práctica docente, nuestra intención ha sido motivar y dar testimonio de que el uso de ellas promueven la participación en el aula, crea una atmósfera positiva en el aula y genera relaciones horizontales que permiten un trabajo creativo y un acercamiento más amigable a nuestra querida disciplina matemática y a la labor docente.

Lamentablemente, uno de los primeros inconvenientes para abordar y emplear estas técnicas de enseñanza aprendizaje, es el factor tiempo; pues, enfocar las sesiones de enseñanza aprendizaje desde la perspectiva de la resolución de problemas, requiere de más horas de trabajo. A lo que pensamos que emplear más horas de clase en desarrollar nuestras clases desde esta perspectiva no se esta consumiendo inútilmente un tiempo precioso, sino que por el contrario se está realizando la actividad característica de la matemática.

Por otra parte está la idea que tienen los docentes y que debemos revertir es que el alumno debe prepararse para ingresar a la universidad, hecho utópico, pues, gran porcentaje de alumnos no siguen estudios superiores universitarios o no. También la forma de ingreso a los centros de enseñanza superior no mide capacidades, habilidades y destrezas, sino conocimientos, logrando ingresar aquellos que mejor han sido “entrenados” mecánicamente en las academias, donde dizque enseñan “Razonamiento Matemático” o “RM” por no llamarlo “Entrenamiento Matemático”, dándose el caso que la gran mayoría de egresados de la secundaria se enfrentan a la vida diaria, por lo que deben estar preparados para estas circunstancias.

Además, estas situaciones problemáticas se deben presentar en “fichas motivadoras” o en papelógrafos, por lo que requiere que el docente dedique más tiempo a elaborar sus sesiones de enseñanza-aprendizaje y también implica un costo adicional; esfuerzo y costo que los docentes no están dispuestos a dar o pagar.

 

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